GAZETA MATEMATICA SI FIZICA 1957 SERIA A, NR.2-3, 10 (3 REVISTE) - I. BARBALAT, N. CIORANESCU, M. GHERMANESCU SI COLAB.

1. Introducere In articolul de faţă, cît şi într-un articol viitor, încercăm să expunem evoluția noţiunii de lungime a unei curbe.
Pornind de la conţinutul intuitiv al noţiunilor de «< curbă » şi « lungime », oamenii de știință au căutat de multă vreme să găsească cea mai potrivită traducere matematică a lui. În ciuda aparenței de simplitate pe care o prezintă această problemă, ea s-a dovedit a ascunde dificultăți, şi o teorie matematică completă a lungimii curbelor nu a putut fi construită decît în secolul nostru.
Efortul pentru crearea acestei teorii a dat un impuls puternic dezvoltării unor importante capitole de matematică, de pildă teoria integralei, şi chiar a unei întregi ramuri a matematicii, analiza funcţională.
- - În ce priveşte teoria ariei unei suprafeţe, despre care o bună bucată de vreme matematicienii aveau impresia greşită că poate fi desfășurată ca o simplă transpunere a considerațiilor clasice asupra lungimii curbelor, trebuie să spunem că această teorie se desăvîrşeşte abia în zilele noastre.
- In teoria lungimii şi ariei, rezultatele fundamentale au la bază observaţii atît de simple şi totuşi atît de profunde observații legate de faptul banal de măsurare a lungimii unui drum sau a unui fir, încît cititorul rămîne oarecum surprins că matematicienii au putut să treacă atîta timp pe lîngă ele fără să le observe, sau să le observe fără a trage consecinţele din această observare.
Pentru a nu pierde din vedere linia principală, evoluţia ideilor, vom înlătura, pe cît este posibil, detaliile şi demonstrațiile.
2. O expunere clasică a noțiunii de lungime a cercului In definiția lungimii unei curbe apar două feluri de dificultăți. Unele provin din însăşi complexitatea noţiunii de curbă, noţiune care depăşeşte intuiția obişnuită despre linie sau despre o trăsătură continuă; altele provin din netranspunerea fidelă în matematică a conţinutului intuitiv al noțiunii de lungime.
Pentru a reține doar dificultățile de al doilea tip, este suficient să considerăm o curbă de o structură mai simplă, de pildă, un cerc.
O expunere clasică a noţiunii de lungime a unei circumferințe se găseşte, de exemplu, în cartea «Leçons de géometrie élémentaire» de Jaques Hadamard.